Question

如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的短轴长。与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交于点。

（1）求、的方程；
（2）求证：。
（3）记的面积分别为，若，求的取值范围。

Answer 1

（1）；（2）见解析；（3） .

解析试题分析：（1）利用椭圆的几何性质，建立的方程组即得；
（2）通过设直线并联立 应用韦达定理及平面向量的坐标运算证得，从而得到 ；
（3）通过设直线，联立方程组，；
联立，
利用三角形面积公式分别计算,用表示，从而得到.
试题解析：
（1）              （1分）
又，得           （2分）
（2）设直线则  （3分）
=0
                        （5分）
（3）设直线
，同理可得 
            （8分）

同理可得
               （2分）
              （13分）
考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理，平面向量的数量积，基本不等式.