Question

在正六边形ABCDEF中，AB=1，

AP

=x

AB

+y

AF

，则x+y的取值范围是

[1，4]

．

Answer 1

分析：通过建立坐标系，写出点的坐标及直线方程，设动点P的坐标写出动点P的可行域；写出向量的坐标，据已知条件中的向量等式得到α，β与x，y的关系代入点P的可行域得α，β的可行域，利用线性规划求出α+β的取值范围．

解答：解：建立如图坐标系，∵AB=1，则A（0，0），B（1，0），C(

3

2

， 

3

2

)，D(1，

3

)，E(0，

3

)，F(-

1

2

， 

3

2

)．
则CD的方程：

3

x+ y-2

3

=0；BC的方程：

3

•x- y-

3

=0；EF 的方程：

3

x- y+

3

=0；BF的方程：x+

3

y-1=0．
设

AP

=(α，β)，
因P是五边形BCDEF内的动点，则可行域为 

3 α+β-2 3 ≤ 0 3 α-β- 3 ≤0 3 α-β+ 3 ≥0 α+ 3 β-1≥0 0≤β≤ 3

．
由 

AB

=(1，0)，

AF

=(-

1

2

， 

3

2

)，所以(α，β)=x(1，0)+y(-

1

2

， 

3

2

)．
得

α=x- y 2 β= 3 2 y

，可得   

3 (x- y 2 )+ 3 y 2 -2 3 ≤ 0 3 (x- y 2 )- 3 y 2 - 3 ≤0 3 (x- y 2 )- 3 y 2 + 3 ≥0 (x- y 2 )+ 3 • 3 y 2 -1 ≥0 0≤ 3 y 2 ≤ 3

，化简可得 

x≤2 x-y≤1 y-x≤1 x+y≥1 0≤y≤2

，
由线性规划的知识解得1≤x+y≤4．
故答案为：[1，4]．

点评：本题考查通过建立直角坐标系将问题转化为线性规划问题，通过线性规划求出范围．