题目内容
设函数f(x)=sinxsin(
+x)+cos2x，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c
（1）求f（x）的最大值；
（2）若f（A）=1，A+B=
，b=
，求A和a．
| π |
| 2 |
（1）求f（x）的最大值；
（2）若f（A）=1，A+B=
| 7π |
| 12 |
| 6 |
分析：（1）利用诱导公式化简表达式，通过二倍角的正弦函数余弦函数以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，然后求f（x）的最大值；
（2）通过f（A）=1，求出A的值，通过A+B=
，求出B的值，结合b=
，利用正弦定理求出a，即可．
（2）通过f（A）=1，求出A的值，通过A+B=
| 7π |
| 12 |
| 6 |
解答：解：（1）因为f(x)=sinxsin(
+x)+cos2x=sinxcosx+cos2x…（1分）
=
[sin2x+1+cos2x]…（3分）
=
sin(2x+
)+
．…（4分）
所以，当sin(2x+
)=1，
即2x+
=
+2kπ，
x=kπ+
(k∈Z)时，f（x）取得最大值，…（5分）
其最大值
．…（6分）
（2）由f（A）=1得，
sin(2A+
)+
=1，
即sin(2A+
)=
．…（7分）
在△ABC中，因为A∈（0，π），
所以2A+
∈(
，
)．
又sin(2A+
)=
＞0，
所以2A+
=
，A=
．…（9分）
又因为A+B=
，所以B=
．…（10分）
在△ABC中，
由
=
及b=
，
得a=
=
=2．…（12分）
| π |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
=
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
所以，当sin(2x+
| π |
| 4 |
即2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
x=kπ+
| π |
| 8 |
其最大值
| ||
| 2 |
（2）由f（A）=1得，
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
即sin(2A+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
在△ABC中，因为A∈（0，π），
所以2A+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 9π |
| 4 |
又sin(2A+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
所以2A+
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
又因为A+B=
| 7π |
| 12 |
| π |
| 3 |
在△ABC中，
由
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| 6 |
得a=
| bsinA |
| sinB |
| ||||||
|
点评：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角的正弦函数，诱导公式的应用正弦定理的应用，考查计算能力．
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