Question

20．已知等差数列{a_n}的各项互不相等，前2项和为10，且a₁a₇=a₃²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，n∈N⁺，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过设等差数列{a_n}的公差为d且d≠0，利用前2项和为10可知2a₁+d=10，利用a₁a₇=a₃²可知a₁（a₁+6d）=$（{a}_{1}+2d）^{2}$，通过联立两式解得d=2、a₁=4，进而计算即得结论；
（2）通过（1）可知a_n=2n+2，裂项可知b_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加、计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，设等差数列{a_n}的公差为d且d≠0，
∵前2项和为10，
∴2a₁+d=10，①
又∵a₁a₇=a₃²，
∴a₁（a₁+6d）=$（{a}_{1}+2d）^{2}$，②
联立①、②，解得：d=2，a₁=4，
∴数列{a_n}是以4为首项、2为公差的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=4+2（n-1）=2n+2；
（2）由（1）可知a_n=2n+2，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{（2n+2）•[2（n+1）+2]}$
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），n∈N⁺，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{8（n+2）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．