Question

18．设$a=\int_0^π{（sinx-1+2{{cos}^2}\frac{x}{2}}）dx$，则多项式${（a\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}）^6}•（{x^2}+2）$的常数项是（　　）

• A． -332
• B． 332
• C． 166
• D． -166

Answer 1

分析 求定积分求得a的值，二项式展开式的通项公式，再利用二项式系数的性质，求得展开式的常数项．

解答 解：∵$a=\int_0^π{（sinx-1+2{{cos}^2}\frac{x}{2}}）dx$=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}（sinx+cosx）dx$=（sinx-cosx）${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=1-（-1）=2，
则多项式${（a\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}）^6}•（{x^2}+2）$=${（2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{6}$•（x²+2）=（64x³-192x²+240x-160+60•$\frac{1}{x}$-12•$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$）（x²+2），
故它的常数项为-12+（-160）×2=-332，
故选：A．

点评 本题主要考查求定积分，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．