Question

函数f(x)=+lnx(a≠0)，
(1)求函数y=f(x)的递增区间；
(2)当a=1时，求函数y=f(x)在[，4]上的最大值和最小值；
(3)求证：。

Answer 1

(1)解：，
①若a＜0，f′(x)＞0对一切x＞0恒成立，∴f(x)的增区间为(0，+∞)；
②若a＞0，则当时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
故当a＜0时，f(x)的增区间为(0，+∞)，当a＞0时，f(x)的增区间为；
(2)解：当a=1时，，
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：

，
，
∴。
(3)证明：当a=1时，由(2)知f(x)≥f(1)=0，
∴，即(当且仅当x=1时取等号)，
①令，则有(此时等号不成立)，
即有，
∴当k=n+1时，，
当k=n+2时，，
……
当k=3n时，，
累加可得：。
②同理令，则有(此时等号不成立)，
即有，
∴当k=n时，，
当k=n+1时，，
当k=3n-1时，，
累加可得：，
即：，
故：。