Question

已知函数f(x)=ln(ax+1)+

1-x

1+x

（x≥0，a为正实数）．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将a=1代入f（x）的解析式，求出f′（x），根据导数的几何意义，可得f′（1）=0，又f（1）=ln2，根据直线的点斜式方程，即可求得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求出f′（x），对a的值进行分类讨论，当a-2≥0时，f'（x）＞0在[0，+∞）上恒成立，即可得到函数的单调区间，当a-2＜0时，求出f'（x）=0的根，再根据f'（x）的正负，即可确定函数的单调区间，最后，综合上面的答案，即可求得函数f（x）的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=ln(ax+1)+

1-x

1+x

（x≥0，a为正实数），
∴当a=1时，f(x)=ln(x+1)+

1-x

1+x

，
∴f′(x)=

1

x+1

+

-2

(1+x)2

，
∴切线的斜率为k=f'（1）=0，又f（1）=ln2，
∴切点为（1，ln2），
根据直线的点斜式方程，可得y-ln2=0×（x-1），即y=ln2，
∴所求的切线方程为y=ln2；
（Ⅱ）∵函数f(x)=ln(ax+1)+

1-x

1+x

（x≥0，a为正实数），
∴f′(x)=

a

ax+1

+

-2

(1+x)2

=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，
①当a-2≥0，即a≥2时，
∵x≥0，
∴f'（x）＞0，
∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增；
②当a-2＜0，即0＜a＜2时，
令f'（x）=0，则ax²+a-2=0（x≥0），
∴x=

2-a a

，
∴当x∈[0，

2-a a

)时，f'（x）＜0，当x∈(

2-a a

，+∞)时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递增区间为(

2-a a

，+∞)，函数f（x）的单调递减区间为[0，

2-a a

)．
综合①②可得，当a≥2时，函数f（x）的单调递增区间为[0，+∞），
当0＜a＜2时，函数f（x）的单调递增区间为(

2-a a

，+∞)，函数f（x）的单调递减区间为[0，

2-a a

)．

点评：本题考查了导数的几何意义，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性，求解单调性问题时，要注意单调区间是定义域的子集．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．