Question

如图，四边形与均为菱形，设与相交于点，若，且.

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）余弦值为.

试题分析：本题主要考查线面平行、面面平行、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，先根据菱形的定义得，，再根据线面平行的判定得，，再根据面面平行的判定得面面，从而证明；第二问，先根据已知条件得建立空间直角坐标系的最基本的条件，即两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用夹角公式求出夹角并判断二面角为锐二面角，所以所求余弦值为正值.
试题解析：(1) 证明：因为四边形与均为菱形，
所以，.
因为，，
所以，    2分
又，，，
所以
又，
所以               4分
(2) 连接、,因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，
因为为中点.所以，
又因为为中点,且，
所以
又，所以                    .6分
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
设，因为四边形为菱形，，
则，，，
所以       ..8分
所以设平面的一个法向量为，
则有,所以，令，则
因为，所以平面的一个法向量为   .10分
因为二面角为锐二面角，设二面角的平面角为
则
所以二面角的余弦值为                  ..12分