Question

【题目】已知定义为的函数满足下列条件：①对任意的实数都有：

；②当时，．

（1）求；

（2）求证：在上为增函数；

（3）若，关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）令；（2）任取，则，所以是上增函数；（3）由已知条件有：

，又

在上恒成立，令，即成立即可．然后对 取值进行分类讨论可得：实数的取值范围是．

试题解析：（1）令，恒等式可变为，解得

（2）任取，则，由题设时，，可得，

∵，

∴，

所以是上增函数

（3）由已知条件有：，

故原不等式可化为：，即，

而当时，，

所以，所以，

故不等式可化为，

由（2）可知在上为增函数，所以，

即在上恒成立，

令，即成立即可．

①当，即时，在上单调递增，

则解得，所以，

②当即时，有

解得，而，所以，

综上，实数的取值范围是