Question

已知函数f(x)=

mx- 9 8    (0＜x＜m) log2 x2 m     (m≤x＜1)

满足f（m²）=-1
（1）求常数m的值；
（2）解关于x的方程f（x）+2m=0，并写出x的解集．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式可得①

0＜m2＜m 0＜m＜1 m•m2- 9 8 =-1

，或②

log2 m4 m =-1 m≤m2＜1  0＜m＜1

，分别解①和②，求得m的值．
（2）根据（1）可得f（x）的解析式，分类讨论求得关于x的方程f（x）+1=0的解．

解答：解：（1）由函数的解析式可得①

0＜m2＜m 0＜m＜1 m•m2- 9 8 =-1

，或②

log2 m4 m =-1 m≤m2＜1  0＜m＜1

．
解①求得 m=

1

2

；解②求得m无解．
综上，m=

1

2

．
（2）由以上可得f（x）=

1 2 x- 9 8  ，0＜x＜ 1 2 log2(2•x2) ，  1 2 ≤x＜1

，
关于x的方程f（x）+2m=0，即 f（x）+1=0，
∴③

0＜x＜1 1 2 x- 9 8 +1=0

，或④

1 2 ≤x＜1 log2(2x2)+1 =0

．
解③可得x=

1

4

，解④可得x=

1

2

，故原方程的解集为{x|x=

1

4

，或x=

1

2

}．

点评：本题主要考查分段函数的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．