Question

如图，四棱锥S—ABCD中，平面SAC与底面ABCD垂直，侧棱SA、SB、SC与底面ABCD所成的角均为45°，AD∥BC，且AB=BC=2AD.

(1)求证：四边形ABCD是直角梯形;

(2)求异面直线SB与CD所成角的大小；

(3)求直线AC与平面SAB所成角的大小.

Answer 1

解法一：(1)证明：作SO⊥AC交AC于点O，连结OB.

因为面SAC⊥面ABCD,所以SO⊥面ABCD.

因为侧棱SA、SB、SC与底面ABCD所成的角均为45°，所以∠SAO=∠SBO=∠SCO=45°.

所以△SAO≌△SBO≌△SCO.所以SA=SB=SC,OA=OB=OC.所以AC是△ABC外接圆的直径，所以AB⊥BC.又AD∥BC,AD≠BC,所以四边形ABCD是直角梯形。

(2)解：分别取BC中点M,SC中点N，连结AM、AN、MN,则MN∥SB.

又AD∥BC,AD=BC=MC,所以，ADCM为平形四边形，所以AM∥BC.所以∠AMN是异面直线SB与CD所成的角.

由(1)，△SAO、△SBO、△SCO是全等的等腰三角形，AB=BC.所以△SAC、△BAC是全等的等腰直角三角形.

设SO=a，则MN=SB=a，AM==a.??

因为AM=AN，所以在等腰△AMN中，cOS∠AMN==.?

所以异面直线SB与CD所成角为arccos.                                                          ?

(3)解:取SB中点E，连结AE、CE、OE，由(2)知AE⊥SB,CE⊥SB,?

所以SB⊥平面AEC.                                                                                               ?

所以平面SAB⊥平面AEC，且交线就是AE.?

所以AC在平面SAB上的射影是AE.?

所以∠CAE是AC与平面SAB所成的角.                                                                 ?

在等腰Rt△SOB中，E是SB的中点，?

所以OE=SO=AO.?

在Rt△AOE中，tan∠OAE==，?

所以直线AC与平面SAB所成角的大小是arctan.?                                          ?

解法二:(1)证明：作SO⊥AC交AC于点O，连结OB.?

因为面SAC⊥面ABCD，所以SO⊥面ABCD.                                                          ?

因为侧棱SA、SB、SC与底面,ABCD所成的角均为45°，?

所以∠SAO=∠SBO=∠SCO=45°.                                                                                    ?

所以△SAO≌△SBO≌△SCO.?

所以SA=SB=SC，OA=OB=OC=OS.?

又AB=BC，所以OB⊥AC.?

以OA、OB、OS所在射线分别作为非负x轴、非负y轴、非负z轴建立空间直角坐标系.?

设OS=a，?

则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),S(0,0,a).                                                              ?

所以·=(-a,a,0)·(-a,-a,0)=a²-a²=0.所以⊥，即AB⊥BC.?

又AD∥BC，AD≠BC，所以四边形ABCD是直角梯形.                                           

?

(2)解:由(1)，△SAO,△SBO,△SCO是全等的等腰直角三角形，?

所以△SAC,△BAC是全等的等腰直角三角形.?

则D(a,-a,0),=(a，-a，0)，=(0，a,-a),?

cOS〈,〉===-,                                                 ?

所以异面直线SB,CD所成角的大小是arccos.                                                   ?

(3)解:设n=(x₁,y₁,z₁)是平面SAB的法向量.?

则由得                                                                             ?

取x₁=1,得n=(1,1,1),?

则cOS〈n,〉==.                                                              ?

设AC和面SAB所成角的大小为α，则cOSα=sin〈n,〉=,?

所以AC和面SAB所成角的大小是arccos.