Question

（2007•温州一模）已知函数f（x）=（1-x）e^x，设Q₁（x₁，0），过P₁（x₁，f（x₁））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q₂（x₂，0），再过P₂（x₂，f（x₂））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q₃（x₃，0），…，依此下去，过P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q_n+1（x_n+1，0），…．若x₁=2，
（Ⅰ）试求出x₂的值并写出x_n+1与x_n的关系；
（ II）求证：n-1＜

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

≤n-

1

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）可通过求函数f（x）=（1-x）e^x的导数来求得过P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函数y=f（x）的图象的切线方程的斜率，从而求得切线方程，然后可令y=0，即可得到x_n+1与x_n的关系；
（2）由（1）得到xn+1=xn+

1

xn

-1，x₁=2＞1，先用数学归纳法法证明x_n＞1，从而得

1

xn

＜1，利用累加法可证得

1

x2

+…+

1

xn

＜n-1，结合

1

x1

=

1

2

，从而有

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

≤n-

1

2

；再利用

1

xn

=xn+1-xn+1，可证明

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

=xn+1-x1+n=xn+1-2+n＞n-1，问题即可得证明．

解答：解：（I）由题意得：导数为f′（x）=-xe^x，可求得x2=

3

2

---（3分）
过P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函数y=f（x）的图象的切线方程为：y-(1-xn)exn=-xnexn(x-xn)，
令y=0得：-(1-xn)exn=-xnexn(xn+1-xn)，即xn+1=xn+

1

xn

-1---（6分）
（II）先用数学归纳法证明：x_n＞1
当n=1时x₁=2＞1成立；
假设当n=k时成立，即x_k＞1．
则xk+1=xk+

1

xk

-1＞2-1=1（基本不等式xk+

1

xk

＞2），则当n=k+1时也成立．
故x_n＞1，---（9分）
则可得

1

xn

＜1，故

1

x2

+…+

1

xn

＜n-1，又

1

x1

=

1

2

，则

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

≤n-

1

2

---（11分）
由（I）得

1

xn

=xn+1-xn+1，则

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

=x2-x1+1+x3-x2+1+…+xn+1-xn+1=xn+1-x1+n=xn+1-2+n则 x_n+1＞1，则x_n+1-2+n＞n-1
因此，

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

＞n-1．---（14分）

点评：本题考查用数学归纳法证明不等式，难点有二，一在于证明x_n＞1的思考与证明，而在于对

1

xn

=xn+1-xn+1的灵活应用，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．