Question

在面积为18的△ABC中，AB=5，双曲线E过点A，且以B、C为焦点,已知=27，=54.

如图，以BC所在直线为x轴，BC中点O为原点建立直角坐标系.

(Ⅰ)求曲线E的方程；

(Ⅱ)是否存在过点D(1，1)的直线L，使L与双曲线E交于不同的两点M、N，且=0，如果存在，求出L的方程；如果不存在，说明理由.

Answer 1

答案：(I)如图,以BC所在直线为x轴。BC中点O为原点,设

∠BAC=α,∠ACB=β.|AC|=m,|BC|=n.

由

由

设双曲线方程为则

(Ⅱ)设存在适合条件的直线L,交双曲线于M(x_l,y₁),N(x₂,y₂)(x_l≠x₂).

由=0.得D为MN中点,

由

∴L方程为9x-4y-5=0.

代入9x²-4y²=36得45x²-90x+169=0.

∵△<0,∴不存在适合条件的直线L.