Question

已知数列{a_n}中，a1=cos

θ

2

(0≤θ≤

π

2

)，an+1=

1+an 2

(n∈N*)．
（1）求a₂，a₃；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）设S_n为数列{

π

2

-a_n}的前n项和，证明：Sn≥ 

θ

2

．

Answer 1

分析：（1）由题中递推公式，及公式cosθ=

1+cos2θ 2

，代入a₁，容易求出a₂，a₃．
（2）由a1=cos

θ

2

，a2=cos

θ

4

，a3=cos

θ

8

，…，容易猜想：an=cos

θ

2n

，需要用数学归纳法证明．
（3）由an=cos

θ

2n

变形为：cos

θ

2n

=sin(

π

2

-

θ

2n

)，由sinx≤x得：sin(

π

2

-

θ

2n

)≤

π

2

-

θ

2n

；
所以数列：

π

2

-an=

π

2

-cos

θ

2n

=

π

2

- sin(

π

2

-

θ

2n

)≥

θ

2n

，前n项和sn≥ 

θ

2

+

θ

4

+

θ

8

+…+

θ

2n

≥

θ

2

．即证．

解答：解：
1）因为a1=cos

θ

2

(0≤θ≤

π

2

)，由递推公式an+1= 

1+an 2

和公式cosθ=

1+cos2θ 2

得：a2=

1+cos θ 2 2

=cos

θ

4

a3=

1+cos θ 4 2

=cos

θ

8

．
2）由（1）可归纳猜想：an=cos

θ

2n

(n∈N*)，
现用数学归纳法证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设n=k（k∈N*）时成立，即an=cos

θ

2k

，
则：n=k+1时：ak+1=

1+ak 2

=

1+cos θ 2k 2

=

cos2 θ 2k+1

=cos

θ

2k+1

(0≤θ≤

π

2

)；
所以，n=k+1时，猜想也成立．
故：由①②可知，对任意n∈N*，猜想均成立．
3）证明：设f（x）=x-sinx(0≤x≤

π

2

)，
则f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）=x-sinx在[0，

π

2

]上是增函数．
∴f（x）≥f（0）=0，即sinx≤x(0≤θ≤

π

2

)．
又∵an=cos

θ

2n

= sin(

π

2

-

θ

2n

) ≤ 

π

2

-

θ

2n

，
∴

π

2

-an≥

θ

2n

，
∴sn≥ 

θ

2

+

θ

22

+

θ

23

+ …+

θ

2n

=[

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

] •θ=(1-

1

2n

) •θ≥

θ

2

．即证．

点评：本题（1），（2）小题考查数列的递推公式，半角公式，数学归纳法证明，属于基础题．（3）小题函数的单调性，数列的求和，放缩法，综合性大．作为高考中的大题有很好的区分度．