Question

【题目】已知f（x）=ax+ ，g（x）=ex﹣3ax，a＞0，若对x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】[ ,+∞）
【解析】解：当x∈（0，1）时，f（x）=ax+ 为减函数，

由f（1）=2a得：f（x）的值域为（2a，+∞），

若若对x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，

则g（x）的值域B应满足（2a，+∞）B，

令g′（x）=ex﹣3a=0，则ex=3a，即x=ln3a，

若ln3a≤1，即3a≤e，

此时g（x）＞g（1）=e﹣3a，

此时由e﹣3a≤2a得： ≤a≤ ，

若ln3a＞1，即3a＞e，

g（x）在（1，ln3a）上为减函数，在（ln3a，+∞）上为增函数，

此时当x=ln3a时，函数取最小值3a（1﹣ln3a）＜0＜2a满足条件；

综上可得：实数a的取值范围为[ ，+∞）

所以答案是：[ ，+∞）．

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．