Question

（本小题满分12分）
函数，其中．
（Ⅰ）试讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）已知当（其中 是自然对数的底数）时，在 上至少
存在一点，使 成立，求 的取值范围；
（Ⅲ）求证：当 时，对任意，，有．

Answer 1

（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
（Ⅲ）证明见解析。

（Ⅰ）易知的定义域为．
．
由 得： 或．
∵，∴．
∴（1）当时，则为增函数；
为减函数；
为增函数．
（2）当时，则为增函数；
为减函数；
为增函数．                       5分
（Ⅱ）在上至少存在一点，使成立，等价于当时，．
∵，∴．
由（Ⅰ）知，时，为增函数，时，为减函数．
∴在时，．∴．
检验，上式满足，所以是所求范围．                   8分
（Ⅲ）当时，函数．构造辅助函数，并求导得．
显然当时，，为减函数．
∴对任意，都有成立，即．
即．又∵，∴．      12分