题目内容
17.某商场为了搞促销,拿出占该商场商品总值x%的商品作降价处理,根据市场调查可知,此时其他商品总利润将提高1.25x%(设每件商品的利润率相同),已知该商场商品原来的总利润为1000万元,降价后剩余商品的利润总额不低于原来商品的利润总额.(1)求x的取值范围;
(2)已知降价部分商品的利润总额为10(a-$\frac{3x}{80}$)x万元(a>0),若降价部分商品的利润总额不高于没有降价部分商品的利润总额.
(i)求a的取值范围;
(ii)若降价部分商品的利润总额的最大值为f(a),求f(a)的解析式.
分析 (1)由题意可得,1000(1-x%)(1+1.25x%)≥1000,运用二次不等式的解法即可得到;
(2)(i)由题意可得,10(a-$\frac{3x}{80}$)x≤1000(1-x%),运用参数分离和函数的单调性即可求得a的范围;
(ii)运用二次函数的最值的求法,注意对称轴和区间的关系,即可得到.
解答 解:(1)由题意可得,1000(1-x%)(1+1.25x%)≥1000,
可得1.25x2-25x≤0,
解得0≤x≤20,
即x的取值范围是[0,20];
(2)(i)由题意可得,10(a-$\frac{3x}{80}$)x≤1000(1-x%),
即为a≤$\frac{3x}{80}$+$\frac{100}{x}$-1,(0≤x≤20)
由于y=$\frac{3x}{80}$+$\frac{100}{x}$-1的导数为y′=$\frac{3}{80}$-$\frac{100}{{x}^{2}}$,
当0≤x≤20时,y′<0,函数在(0,20]上递减,
即有x=20时,y取得最小值,且为$\frac{19}{4}$.
即有0<a≤$\frac{19}{4}$;
(ii)由降价部分商品的利润总额为10(a-$\frac{3x}{80}$)x万元,
当x=$\frac{40}{3}$a∈[0,20]时,
则降价部分商品的利润总额的最大值为f(a)=$\frac{-100{a}^{2}}{4×(-\frac{3}{8})}$
=$\frac{200}{3}$a2.
点评 本题考查函数的应用题,主要考查二次函数的最值和二次不等式的解法,属于中档题.
练习册系列答案
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6.正奇数按下表规律排成5列.
则第2017在第252行,第2列.
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | 第4列 | 第5列 | |
| 第1行 | 1 | 3 | 5 | 7 | |
| 第2行 | 15 | 13 | 11 | 9 | |
| 第3行 | 17 | 19 | 21 | 23 | |
| 第4行 | 31 | 29 | 27 | 25 | |
| … | … | … | … | … | … |