Question

各项均不为零的数列{a_n}，首项a1=1，且对于任意n∈N^* 均有6a _n+1-a _n+1a_n-2a_n=0，b_n=

1

an

．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）数列{a_n} 的前n项和为T_n，求证T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）将6a_n+1-a_n+1•a_n-2a_n=0变形有：

1

an+1

=

3

an

-

1

2

，即

1

an+1

-

1

4

=3(

1

an

-

1

4

)，这样容易求得b_n，
（2）由（1）求得bn=

3n+1

4

=

1

an

，可求得an=

4

3n+1

，用放缩法容易证明结论．

解答：解：（1）由6a _n+1-a _n+1a_n-2a_n=06a_n+1-a_n+1•a_n-2a_n=0

1

an+1

=

3

an

-

1

2

，…（2分）

1

an+1

-

1

4

=3(

1

an

-

1

4

)，bn+1-

1

4

 =3(bn-

1

4

)
所{bn-

1

4

}是以3为公比

3

4

为首项的等比数列…（4分）
∴bn-

1

4

=

3

4

×3n-1=

3n

4

，bn=

3n+1

4

   …（6分）
（2）Tn=

4

3+1

+

4

32+1

+…+

4

3n-1+1

+

4

3n+1

…（7分）
＜4(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)…（10分）
=4×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=2（1-

1

3n

）＜2   （12分）

点评：本题考查数列的递推关系，考查放缩法，解题的难点在于将已知条件合理转化，特别是转化为

1

an+1

-

1

4

=3(

1

an

-

1

4

)是解决问题的关键．