Question

已知在各项均不为零的数列{a_n}中，a₁=1，2a_na_n+1+a_n+1-a_n=0（n∈N*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由2a_na_n+1+a_n+1-a_n=0，两边同除以a_na_n+1，得

1

an+1

-

1

an

=2，从而可知数列{ 

1

an

 }是首项为

1

a1

=1，公差为2的等差数列，进而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据b_n=a_na_n+1，结合（1），将通项裂项，进而可求可．

解答：解：（1）由2a_na_n+1+a_n+1-a_n=0得

1

an+1

-

1

an

=2（3分）
∴数列{ 

1

an

 }是首项为

1

a1

=1，公差为2的等差数列
∴

1

an

=1+2(n-1)=2n-1∴an=

1

2n-1

（7分）
（2）∵bn=anan+1=

1

(2n-1) (2n+1)

=

1

2

  ( 

1

2n-1

-

1

2n+1

 )
∴{b_n}的前n项和为：Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

（13分）

点评：本题以数列递推式为载体，考查构造法证明等差数列，考查数列的通项，考查裂项法求和．