Question

已知椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，左顶点为A，若|F₁F₂|=2，椭圆的离心率为
（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且，求证：直线l恒过定点．

Answer 1

【答案】分析：（ I）由题意可得到：从而写出椭圆的标准方程；
（II）设P（x，y）利用向量的数量积即可坟得，再结合椭圆方程得-2≤x≤2，利用二次函数的图象与性质即可求得的取值范围；
（III）先将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积公式即可求得m值，从而解决问题．
解答：解：（ I）由题意得（4分）
（II）设P（x，y），A（-2，0），F₁（-1，0）
=
由椭圆方程得-2≤x≤2，二次函数开口向上，对称轴x=-6＜-2
当x=-2时，取最小值0，
当x=2时，取最大值12的取值范围是[0，12]（9分）
（III）
由△＞0得4k²+3＞m²※
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，，

∴（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（2+km）（x₁+x₂）+4+m²=0
∴4k²-16km+7m²=0均适合※（12分）

（13分）
点评：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力．本题为中档题，需要熟练运用设而不求韦达定理．