Question

函数f（x）=sin（x+

π

2

），g（x）=cos（x-

π

2

），下列命题正确的是

①④⑤

（有几个选几个）．
①y=f（x）g（x）的最小正周期为π；
②y=f（x）g（x）在R上是偶函数；
③将f（x）图象往左平移

π

2

个单位得到g（x）图象；
④将f（x）图象往右平移

π

2

个单位得到g（x）图象；
⑤y=f（x）g（x）在[-

π

4

，

π

6

]上单调递增．

Answer 1

分析：先根据诱导公式对函数f（x）以及g（x）进行化简整理，求出y=f（x）g（x）根据周期性和奇偶性判断①②；再结合正弦函数的单调性判断出⑤；根据函数图象的平移规律判断出③④即可．

解答：解：因为：f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx，g（x）=cos（x-

π

2

）=sinx；
∴将f（x）图象往右平移

π

2

个单位得到g（x）图象，④对③错．
∴f（x）g（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x；
∴T=

2π

2

=π，①对
又因为f（-x）g（-x）=

1

2

sin（-2x）=-

1

2

sin2x=-f（x）g（x）是奇函数，②错；
当x∈[-

π

4

，

π

6

]⇒2x∈[-

π

2

，

π

3

]，结合正弦函数的单调性得y=f（x）g（x）在[-

π

4

，

π

6

]上单调递增，⑤对．
故命题正确的是：①④⑤．
故答案为：①④⑤．

点评：本题主要考查诱导公式的应用以及三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．