Question

如图，已知圆O的直径AB＝4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直于直线AB.点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L于M、N点.

(1)若∠PAB＝30°，求以MN为直径的圆的方程；

(2)当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过AB上一定点.

Answer 1

建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为x²＋y²＝4，

直线L的方程为x＝4.

(1)当点P在x轴上方时，

∵∠PAB＝30°，

∴点P的坐标为(1，)，

∴l_AP：y＝(x＋2)，

l_BP：y＝－(x－2).

将x＝4代入，得M(4,2)，N(4，－2).

∴MN的中点坐标为(4,0)，MN＝4.

∴以MN为直径的圆的方程为(x－4)²＋y²＝12.

同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是(x－4)²＋y²＝12.

(2)设点P的坐标为(x₀，y₀)，∴x＋y＝4(y₀≠0)，

∴y＝4－x.

∵l_PA：y＝(x＋2)，l_PB：y＝(x－2)，

将x＝4代入，得y_M＝，

y_N＝，∴M(4，)，N(4，)，

MN＝|－|＝.

MN的中点坐标为(4，－).

以MN为直径的圆O′截x轴的线段长度为

2＝

＝＝|y₀|＝4，为定值.

∴⊙O′必过AB上一定点(4－2，0).