题目内容

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(1)求证:CD⊥平面PAB;
(2)求点D到平面PBC的距离.
分析:(1)由AB是圆的直径,得到AC⊥CB,结合BC=
AC算出∠ABC=30°,进而得到BC=2
.△BCD中用余弦定理算出CD长,从而CD2+DB2=BC2,可得CD⊥AO.再根据PD⊥平面ABC,得到PD⊥CD,结合线面垂直的判定定理即可证出CD⊥平面PAB;
(2)根据(1)中计算的结果,利用锥体体积公式算出VP-BDC=
,而VP-BDC=VD-PDC,由此设点D到平面PBC的距离为d,可得
S△PBC•d=
,结合△PBC的面积可算出点D到平面PBC的距离.
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(2)根据(1)中计算的结果,利用锥体体积公式算出VP-BDC=
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解答:解:(1)∵AB为圆O的直径,∴AC⊥CB,
∵Rt△ABC中,由
AC=BC,∴tan∠ABC=
=
,∠ABC=30°,
∵AB=4,3AD=DB,∴DB=3,BC=2
,
由余弦定理,得△BCD中,CD2=DB2+BC2-2DB•BCcos30°=3,
∴CD2+DB2=12=BC2,可得CD⊥AO.-----------------(3分)
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D,即PD⊥平面ABC,
又∵CD?平面ABC,∴PD⊥CD,-----------------(5分)
∵PD∩AO=D得,∴CD⊥平面PAB.-----------------(6分)
(2)由(1)可知,PD=DB=3,且Rt△BCD中,CD=BCsin30°=
,--------(7分)
∴VP-BDC=
S△BDC•PD=
•
DB•DC•PD=
×
×3×
×3=
.--------(10分)
又∵PB=
=3
,PC=
=2
,BC=
=2
,
∴△PBC为等腰三角形,可得S△PBC=
×3
×
=
.--------(12分)
设点D到平面PBC的距离为d,由VP-BDC=VD-PBC,得
S△PBC•d=
,解之得d=
.--------(14分)
∵Rt△ABC中,由
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AC |
BC |
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∵AB=4,3AD=DB,∴DB=3,BC=2
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由余弦定理,得△BCD中,CD2=DB2+BC2-2DB•BCcos30°=3,
∴CD2+DB2=12=BC2,可得CD⊥AO.-----------------(3分)
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D,即PD⊥平面ABC,
又∵CD?平面ABC,∴PD⊥CD,-----------------(5分)
∵PD∩AO=D得,∴CD⊥平面PAB.-----------------(6分)
(2)由(1)可知,PD=DB=3,且Rt△BCD中,CD=BCsin30°=
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∴VP-BDC=
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又∵PB=
PD2+DB2 |
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PD2+DC2 |
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DB2+DC2 |
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∴△PBC为等腰三角形,可得S△PBC=
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设点D到平面PBC的距离为d,由VP-BDC=VD-PBC,得
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点评:本题给出底面△ABC在外接圆中的三棱锥,求证线面垂直并求点到平面的距离,着重考查了线面垂直的判定与性质、锥体体积公式和点面距离的求法等知识,属于中档题.

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