题目内容

(2013•佛山一模)如图,已知圆O的直径AB长度为4,点D为线段AB上一点,且AD=
1
3
DB
,点C为圆O上一点,且BC=
3
AC
.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=BD.
(1)求证:CD⊥平面PAB;
(2)求点D到平面PBC的距离.
分析:(1)由AB是圆的直径,得到AC⊥CB,结合BC=
3
AC算出∠ABC=30°,进而得到BC=2
3
.△BCD中用余弦定理算出CD长,从而CD2+DB2=BC2,可得CD⊥AO.再根据PD⊥平面ABC,得到PD⊥CD,结合线面垂直的判定定理即可证出CD⊥平面PAB;
(2)根据(1)中计算的结果,利用锥体体积公式算出VP-BDC=
3
3
2
,而VP-BDC=VD-PDC,由此设点D到平面PBC的距离为d,可得
1
3
S△PBC•d=
3
3
2
,结合△PBC的面积可算出点D到平面PBC的距离.
解答:解:(1)∵AB为圆O的直径,∴AC⊥CB,
∵Rt△ABC中,由
3
AC=BC
,∴tan∠ABC=
AC
BC
=
3
3
,∠ABC=30°,
∵AB=4,3AD=DB,∴DB=3,BC=2
3

由余弦定理,得△BCD中,CD2=DB2+BC2-2DB•BCcos30°=3,
∴CD2+DB2=12=BC2,可得CD⊥AO.-----------------(3分)
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D,即PD⊥平面ABC,
又∵CD?平面ABC,∴PD⊥CD,-----------------(5分)
∵PD∩AO=D得,∴CD⊥平面PAB.-----------------(6分)
(2)由(1)可知,PD=DB=3,且Rt△BCD中,CD=BCsin30°=
3
,--------(7分)
VP-BDC=
1
3
S△BDC•PD=
1
3
1
2
DB•DC•PD=
1
3
×
1
2
×3×
3
×3=
3
3
2
.--------(10分)
又∵PB=
PD2+DB2
=3
2
PC=
PD2+DC2
=2
3
BC=
DB2+DC2
=2
3

∴△PBC为等腰三角形,可得S△PBC=
1
2
×3
2
×
12-
9
2
=
3
15
2
.--------(12分)
设点D到平面PBC的距离为d,由VP-BDC=VD-PBC,得
1
3
S△PBC•d=
3
3
2
,解之得d=
3
5
5
.--------(14分)
点评:本题给出底面△ABC在外接圆中的三棱锥,求证线面垂直并求点到平面的距离,着重考查了线面垂直的判定与性质、锥体体积公式和点面距离的求法等知识,属于中档题.
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