题目内容

设数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=na_n-2n（n-1）．等比数列{b_n}的前n项和为T_n，公比为a₁，且T₅=T₃+2b₅．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{ $数学公式$ }的前n项和为M_n，求证： $数学公式$ ≤M_n＜ $数学公式$ ．

解：（1）∵等比数列{b_n}的前n项和为T_n，公比为a₁，且T₅=T₃+2b₅，∴b₄+b₅=2b₅，
∴b₄=b₅，∴公比 a₁= $\text{[math]}$ =1，故等比数列{b_n}是常数数列．
数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=na_n-2n（n-1），当n≥2时，
a_n=s_n-s_n-1=na_n-2n（n-1）-[na_n-1-2（n-1）（n-2）]，∴a_n-a_n-1=4 （n≥2）．
∴数列{a_n}是以1为首项，以4为公差的等差数列，a_n=4n-3．
（2）∵数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和为M_n，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴M_n= $\text{[math]}$ [1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ ．
再由数列{ M_n}是增数列，∴M_n≥M₁= $\text{[math]}$ ．
综上可得， $\text{[math]}$ ≤M_n＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据T₅=T₃+2b₅，求得 b₄=b₅，得到公比 a₁= $\text{[math]}$ =1，再由当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1 可得数列{a_n}是以1为首项，以4为公差的等差数列，由此求得数列{a_n}的通项公式．
（2）用裂项法求得 M_n= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ ，再由数列{ M_n}是增数列，可得 M_n≤M₁= $\text{[math]}$ ，从而命题得证．
点评：本题主要考查数列的递推公式的应用，用放缩法证明不等式，属于难题．