Question

如图，P、O分别是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上、下底面的中心，AB=kAA₁．
（1）当时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
（2）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

Answer 1

【答案】分析：以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，
（1）求出对应各点的坐标，设出平面PBC的法向量为，，并求出平面PBC的法向量，再根据=，即可得到直线PA与平面PBC所成角的大小；
（2）先由（Ⅰ）知△PBC的重心G为，再根据，解得k的值即可．
解答：解：以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则得、、B（0，2，0）、C（-2，0，0）
_
（1）当时，由P（0，0，2）、A（2，0，0）得、、
设平面PBC的法向量为，则由，得，
∴
=，
∴直线PA与平面PBC所成角的大小为．
（2）由（Ⅰ）知△PBC的重心G为，则，
若O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心，则有，解得
∴当时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心．
点评：本题是中档题，考查空间向量求直线与平面的夹角，法向量的求法，直线与平面所成的角，考查计算能力．