Question

已知向量=（cosα，sinα），=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），其中0＜α＜x＜π．
（1）若，求函数f（x）=•的最小值及相应x的值；
（2）若与的夹角为，且⊥，求tan2α的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据向量点乘表示出函数f（x）的解析式后令t=sinx+cosx转化为二次函数解题．
（2）根据向量a与b的夹角为确定，再由a⊥c可知向量a点乘向量c等于0整理可得sin（x+α）+2sin2α=0，再将代入即可得到答案．
解答：解：（1）∵=（cosx，sinx），
=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），，
∴f（x）=•=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=．
令t=sinx+cosx（0＜x＜π），
则2sinxcosx=t²-1，且．
则，．
∴时，，此时．
由于0＜x＜π，故．
所以函数f（x）的最小值为，相应x的值为；
（2）∵与的夹角为，
∴．
∵0＜α＜x＜π，∴0＜x-α＜π，∴．
∵⊥，∴cosα（sinx+2sinα）+sinα（cosx+2cosα）=0．
∴sin（x+α）+2sin2α=0，．
∴，
∴．
点评：本题主要考查平面向量的坐标运算和数量积运算．向量一般和三角函数放在一起进行考查，这种题型是高考的热点，每年必考．