Question

已知函数，其中常数a > 0．

(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数；

(2) 求函数f(x)的最小值．

 

Answer 1

【答案】

解：(1) 当时，，利用“定义法”证明。

(2)

【解析】

试题分析：

思路分析：(1) 当时，，利用“定义法”证明。执行“设、算、证、结”。

 (2)应用均值定理及“对号函数”的单调性，分，即和，即两种情况讨论得到：。

解：(1) 当时，，

任取0<x₁<x₂≤2，则f(x₁)–f(x₂)=

因为0<x₁<x₂≤2，所以f(x₁)–f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)

所以函数f(x)在上是减函数；

(2)，当且仅当时等号成立，

当，即时，的最小值为，

当，即时，在上单调递减，

所以当时，取得最小值为，

综上所述：

考点：函数的单调性，“对号函数的性质”，均值定理的应用。

点评：中档题，本题综合性较强，研究函数的单调性，可以利用导数，也可以利用常见函数的单调性。应用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”。