Question

如图,在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E、F分别是BB₁、CD的中点.

(1)证明AD⊥D₁F；

(2)求AE与D₁F所成的角；

(3)证明平面AED⊥平面A₁FD₁.

Answer 1

思路解析：(1)欲证线线垂直,先证线面垂直.易得AD⊥面D₁DCC₁,又D₁F在平面上,所以AD⊥D₁F.(2)求异面直线所成的角应先转化为求共面直线所成的角,方法是在其中一条直线所在平面内作另一条直线的平行线后求它们所成的角.(3)欲证面面垂直,可先证线面垂直.设法证明AE垂直于平面A₁FD₁,这又要转化为证线线垂直,即证明AE与平面A₁FD₁内两条相交直线A₁D₁、D₁F分别垂直即可,这利用第(2)题的结论不难证明.此外，由于本题易建立空间右手直角坐标系，所以还可用坐标法求解.

解法一：(1)证明：由正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁,可得AD⊥面D₁DCC₁.

∵D₁F面D₁DCC₁,∴AD⊥D₁F.

(2)解：如图,取AB的中点G,则易证得A₁G∥D₁F.

又正方形A₁ABB₁中,E、G分别是对应边的中点,

∴A₁G⊥AE.∴D₁F⊥AE.

∴AE与D₁F所成的角为90°.

(3)证明：由正方体可知A₁D₁⊥面A₁ABB₁,∴A₁D₁⊥AE.

又由(2)已证D₁F⊥AE.

∵A₁D₁∩D₁F=D₁,∴AE⊥平面A₁FD₁.

又AE平面AED,∴平面AED⊥平面A₁FD₁.

解法二：(1)证明：以D为原点，DA、DC、DD₁的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立坐标系.设正方体的棱长为1，得下列坐标：A(1,0,0),D(0,0,0),D₁(0,0,1),E(1,1,),F(0,,0),A₁(1,0,1).

∵=(-1,0,0), =(0,,-1),

∴·=(-1,0,0)·(0,,-1)=0,∴AD⊥D₁F.

(2)解：∵=(0,1,),=(0,,-1),

∴cos〈,〉=

∴〈,〉=90°,

即AE与D₁F所成的角是90°.

(3)设平面AED的法向量为m=(x,y,1)，则m·=(x,y,1)·(1,0,0)=0,m·=(x,y,1)·(1,1,)=0,

即所以m=(0,-,1)为平面AED的法向量.

同理，设平面A₁FD₁的法向量为n=(x,y,1)，则

n·=(x,y,1)·(-1,0,0)=0,n·=(x,y,1)·(0,,-1)=0.

可得n=(0,2,1)为平面A₁FD₁的法向量.

∵m·n=(0,-,1)·(0,2,1)=0,∴m⊥n,

即平面AED⊥平面A₁FD₁.

误区警示  解答这类题时可能会出现如下问题而导致解题失败：逻辑推理不清晰；定理使用不熟悉,记错使用定理的条件.