Question

已知点F₁，F₂是双曲线M：的左右焦点，其渐近线为，且右顶点到左焦点的距离为3．
（1）求双曲线M的方程；
（2）过F₂的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为，且，求k的值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线M在第四象限的部分存在一点C满足，求m的值及△ABC的面积S_△ABC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由渐近线为，且右顶点到左焦点的距离为3，得到a=1，b=，c=2，由此能求出双曲线方程．
（2）直线l的方程为y=k（x-2），由得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，再由韦达定理和平面向量知识能够得到k．
（3）把 代入（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，得4x²+4x-9=0，此时，所以．由此入手能求出m的值及△ABC的面积S_△ABC．
解答：解：（1）∵渐近线为，且右顶点到左焦点的距离为3．
∴a=1，b=，c=2，
∴双曲线方程为：．…（4分）
（2）直线l的方程为y=k（x-2），由得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0（*）
所以…（6分）
由得x₁•x₂+y₁•y₂=0
即（1+k²）x₁•x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0
代入化简，并解得（舍去负值），
∴．…（9分）
（3）把 代入（*）并化简得4x²+4x-9=0，
此时，
所以…（11分）
设C（x，y），由得代入双曲线M的方程解得（舍），m=2，所以，…（14分）
点C到直线AB的距离为，
所以．…（16分）
点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．