题目内容

在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），向量 $数学公式$ =（0，1），点B为直线x=-1上的动点，点C满足 $数学公式$ ，点M满足 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）试求动点M的轨迹E的方程；
（2）试证直线CM为轨迹E的切线．

（1）解：设B（-1，m），C（x₁，y₁），
由 $\text{[math]}$ ，得：2（x₁，y₁）=（1，0）+（-1，m），解得x₁=0， $\text{[math]}$ （2分）
设M（x，y），由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，（4分）
消去m得E的轨迹方程y²=4x（6分）
（2）解：由题设知C为AB中点，MC⊥AB，故MC为AB的中垂线，MB∥x轴，
设M（ $\text{[math]}$ ），则B（-1，y₀），C（0， $\text{[math]}$ ），
当y₀≠0时， $\text{[math]}$ ，MC的方程 $\text{[math]}$ （8分）
将MC方程与y²=4x联立消x，整理得：y²-2y₀y+y₀²=0，
它有唯一解y=y₀，即MC与y²=4x只有一个公共点，
又k_MC≠0，所以MC为y²=4x的切线（10分）
当y₀=0时，显然MC方程x=0为轨迹E的切线
综上知，MC为轨迹E的切线．
分析：（1）设B（-1，m），C（x₁，y₁），利用 $\text{[math]}$ 得到关系式，求出x₁=0， $\text{[math]}$ ，设M（x，y）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．得到轨迹方程．
（2）求出MC的方程，与抛物线方程联立，求出解得情况，判断是否是切线即可．
点评：本题是基础题，以向量为载体考查平面解析几何轨迹方程以及切线的问题，注意等价转化的思想，考查分析问题解决问题的能力．