Question

【题目】已知椭圆C以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，

Ⅰ求椭圆C的方程．

Ⅱ斜率为k的直线l过点F且不与坐标轴垂直，直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】Ⅰ ．Ⅱ．

【解析】

Ⅰ设椭圆方程为，由椭圆可得，解出即可得出．

Ⅱ解法一：设，，AB中点，直线AB的方程为，代入椭圆方程可得，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得N的坐标，可得AB的垂直平分线NG的方程为，进而得出．

解法二：设，，AB中点，把点A，B的坐标分别代入椭圆方程相减可得：，利用中点坐标公式、斜率计算公式可得斜率，又，可得，又在椭圆内，即，可得，利用AB的垂直平分线为，即可得出．

Ⅰ设椭圆方程为，

则

由得

由得代入得，

即，即，或

，，得，

，，

椭圆方程为．

Ⅱ解法一：设，，AB中点，

直线AB的方程为，

代入，整理得，

直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，

则，，

，，

的垂直平分线NG的方程为，

时，，

，，，，

．

解法二：设，，AB中点，

由，得，

斜率，

又，，

，得，

在椭圆内，即，

将代入得，

解得

，

则AB的垂直平分线为，时，．