Question

在△ABC中，已知a²-a=2(b+c),a+2b=2c-3.

(1)若sinC∶sinA=4∶,求a、b、c；

（2）求△ABC的最大角的弧度数.

Answer 1

分析：第（1）问中，利用正弦定理把角的关系化为边的关系，在第（2）问中，则需要判定哪个边是最大边，可以利用消元变换来比较.

解：（1）sinC∶sinA=c∶a=4∶,

∴可设c=4k,a=k(k＞0).

∴13k²-k-8k=2b=8k-k-3,即13k²-16k+3=0.∴k=或k=1.

∵k=时，b＜0舍去，∴k=1.

∴a=,b=,c=4.

(2)已知二式中消去2b,∴c=.

代入a²-a-2b-2c=0,

得b=(a²-2a-3)=(a-3)(a+1).

∵a,b,c＞0,

∴a＞3.又b-c=(-a-3)＜0,

c-a=-a=(a-3)(a-1)＞0,

∴b＜c,a＜c,c为最大边.∴C最大.

∵cosC==

=

=

=,

而0＜C＜π,∴C=2.

温馨提示

    在△ABC中，总有大角对大边的关系存在，欲求△ABC的最大角（边）或最小角（边），只需找到相应的最大边（角）或最小边（角）.