Question

给出一列三个命题：
①函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；
②若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，则a≤-4，或a≥0；
③若函数y=f（x-1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称．
其中正确的命题序号是

①②

．

Answer 1

分析：①当c=0时，f（x）=x|x|+bx，用定义可以验证其为奇函数，反之，若函数为奇函数，由f（-x）=-f（x）恒成立可以得到c=0；②函数值域为R，说明y=x²+ax-a能取遍所有正实数，故△≥0，可解得a的范围；③根据图象变换可知函数f（x）的图象关于直线x=-1对称．

解答：解：①当c=0时，f（x）=x|x|+bx
∵f（-x）=（-x）|-x|+b（-x）=-x|x|-bx=-（x|x|+bx）=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数．
反之，∵函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数
∴f（-x）=-f（x）恒成立
∴-x|-x|+b（-x）+c=-x|x|-bx-c恒成立
∴2c=0
即c=0
∴函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0．
②∵函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，
∴函数y=x²+ax-a能取遍一切正实数．
∴△=a²-4×（-a）=a²+4a≥0
解得a≤-4，或a≥0．
③∵函数函数y=f（x-1）的图象是偶函数，
∴函数图象关于y轴对称，
∵函数y=f（x）的图象可以由函数y=f（x-1）的图象向左平移一个单位得到
故函数y=f（x）的图象关于直线x=-1对称．
故正确的是①②

点评：本题主要考查了函数的性质及函数的图象、充要条件的判断，尤其第二个命题容易判断为△＜0而产生错误．