Question

19.设函数f（x）＝－ax，其中a>0.

（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；

（Ⅱ）求a的取值范围，使函数f（x）在区间[0,+）上是单调函数.

Answer 1

19.本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.

解：

（Ⅰ）不等式f（x）≤1即≤1＋ax，由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a>0.

所以，原不等式等价于

即                                  

所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为｛x｜0≤x≤｝；

当a≥1时，所给不等式的解集为｛x｜x≥0｝.              

 

（Ⅱ）在区间［0，＋∞）上任取x₁，x₂，使得x₁＜x₂.

 

f（x₁）－f（x₂）=－－a（x₁－x₂）

 

　　　　　　　＝－a（x₁－x₂）

　　　　　　　

                     ＝（x₁－x₂）      

（ⅰ）当a≥1时，

∵      ＜1，

∴      －a＜0，

 

又      x₁－x₂<0，

 

∴          f（x₁）－f（x₂）>0，

即          f（x₁）>f（x₂）.

所以，当a≥1时，函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调递减函数.      

 

（ⅱ）当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在两点x₁=0，x₂=，满足f（x₁）=1，f（x₂）=1，

 

即f（x₁）=f（x₂），所以函数f（x）在区间［0，＋∞）上不是单调函数.

综上，当且仅当a≥1时，函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调函数.