Question

已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-2x+7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（II）令bn=

2an

，其中n∈N^*，求{nb_n}的前n项和．

Answer 1

（I）∵f（x）=ax²+bx（a≠0），∴f'（x）=2ax+b
由f'（x）=-2x+7得：a=-1，b=7，所以f（x）=-x²+7x
又因为点P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，所以有S_n=-n²+7n
当n=1时，a₁=S₁=6
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2n+8，∴a_n=-2n+8（n∈N^*）
令a_n=-2n+8≥0得n≤4，∴当n=3或n=4时，S_n取得最大值12
综上，a_n=-2n+8（n∈N^*），当n=3或n=4时，S_n取得最大值12

（II）由题意得b1=

26

=8，bn=

2-2n+8

=2-n+4
所以

bn+1

bn

=

1

2

，即数列{b_n}是首项为8，公比是

1

2

的等比数列，bn=8(

1

2

)n-1=24-n
故{nb_n}的前n项和T_n=1×2³+2×2²++n×2^-n+4①

1

2

Tn=1×22+2×2++(n-1)×2-n+4+n×2-n+3②
所以①-②得：

1

2

Tn=23+22++2-n+4-n×2-n+3
∴Tn=

16[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•24-n=32-(2+n)24-n