Question

如图,椭圆C:+=1的焦点在x轴上,左右顶点分别为A1,A,上顶点为B,抛物线C1,C2分别以A,B为焦点,其顶点均为坐标原点O,C1与C2相交于直线y=x上一点P.

(1)求椭圆C及抛物线C1,C2的方程.

(2)若动直线l与直线OP垂直,且与椭圆C交于不同两点M,N,已知点Q(-,0),求·的最小值.

 

Answer 1

(1) 椭圆C:+=1 C1:y2=16x C2:x2=4y (2)

【解析】(1)由题意A(a,0),B(0,),设抛物线C1的方程为y2=4ax,抛物线C2的方程为x2=4y,由P(8,8),∴椭圆C:+=1.

抛物线C1:y2=16x,

抛物线C2:x2=4y.

(2)由(1)得直线OP的斜率为,

∴直线l的斜率k=-,

设直线l:y=-x+b,

由消去y,得

5x2-8bx+8b2-16=0.

∵动直线l与椭圆C交于不同的两点,

∴Δ=128b2-20(8b2-16)>0.

∴-<b<.

设M(x1,y1),N(x2,y2),

∴x1+x2=,x1x2=.

y1y2=(-x1+b)(-x2+b)

=x1x2-(x1+x2)+b2=.

∵=(x1+,y1),=(x2+,y2),

∴·=(x1+)(x2+)+y1y2

=x1x2+(x1+x2)+2+y1y2

=,

∵-<b<,

∴当b=-时,·取得最小值,其最小值为

×(-)2+×(-)-=-.