Question

（本题满分12分）

       如图，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B－AO－C的大小为．

（Ⅰ） 当平面COD⊥平面AOB时，求的值；

       （Ⅱ） 当∈[,]时，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范围．

 

Answer 1

解法一：

　　　 （Ⅰ） 如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，

　　　 则A （0，0，2），B （0，2，0），　 D （0，1，），C （2sin，2cos，0）．

　　　 设＝（x，y，z）为平面COD的一个法向量，

　　　 由　得

　　　

　　　 取z＝sin，则＝（cos，－sin，sin）．

　　　 因为平面AOB的一个法向量为＝（1，0，0），

由平面COD⊥平面AOB得＝0，

所以cos＝0，即＝．　　　　　　　　　………………………6分

（Ⅱ） 设二面角C－OD－B的大小为,

由（Ⅰ）得当＝时， cos＝0；

当∈（,]时，tan≤－， cos= ＝＝－，

　　　 故－≤cos＜0．

综上,二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为[－，0]． …………12分

解法二：

（Ⅰ） 解：在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，

因为平面AOB⊥平面COD，

平面AOB∩平面COD＝OD，

所以BE⊥平面COD，

故BE⊥CO．

又因为OC⊥AO，

所以OC⊥平面AOB，

故OC⊥O　　　　　　　　 B．

又因为OB⊥OA，OC⊥OA，

所以二面角B－AO－C的平面角为∠COB，

即＝．　　　　　 ………………………………………6分

（Ⅱ） 解：当＝时，二面角C－OD－B的余弦值为0；

当∈（,]时，

过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连结CG，

则∠CGF的补角为二面角C－OD－B的平面角．

在Rt△OCF中，CF＝2 sin，OF＝－2cos，

在Rt△CGF中，GF＝OF sin＝－cos，CG＝，

所以cos∠CGF ＝＝－．

因为∈（,]，tan≤－，

故0＜cos∠CGF＝≤．　　所以二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为 [－，0]． ……………12分