Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE。

（Ⅰ）求证：AD′⊥EB；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD′所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：在Rt△BCE中，， ∴， ∵平面D′AE⊥平面ABCE，且交线为AE， ∴BE⊥平面D′AE， 又∵AD′平面AED′， ∴AD′⊥BE。
（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，由（Ⅰ）知，AD′⊥BE， ∵， 又∵AD′平面AED′， 且交线为BD′， 如图，作，垂足为G， 则FG⊥平面ABD′， 连结AG， 则∠FAG就是直线AC与平面ABD′所成的角， 由平面几何的知识可知， ∴， 在Rt△AEF中，， 由可求得， ∴， 所以直线与平面所成角的正弦值为。