Question

【题目】已知两条抛物线C：y2＝2x，E：y2＝2px（p＞0且p≠1），M为C上一点（异于原点O），直线OM与E的另一个交点为N．若过M的直线l与E相交于A，B两点，且△ABN的面积是△ABO面积的3倍，则p＝_____

Answer 1

【答案】4

【解析】

由题意设M的坐标，求出直线OM的方程，与抛物线E联立求出N的坐标，设直线AB的方程，求出O，N到直线AB的距离，求出△ABN的面积与△ABO面积之比，再由△ABN的面积是△ABO面积的3倍可得p的值．

设，则直线OM的方程为，即，代入y2＝2px（p＞0且p≠1），

可得，即，

由题意可得显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，

即，显然，否则AB过原点，不符合题意，

所以O到直线AB的距离，N到直线AB的距离

因为

所以，因为

所以，解得

故答案为：4．