Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面，在中，，为的中点，四边形是等腰梯形，，．

（Ⅰ）求异面直线与所成角的正弦值；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）因为//，则即为所求，解三角形即可容易求得；

（Ⅱ）先证平面，即可求线面垂直推证面面垂直；

（Ⅲ）由（Ⅱ）中所证，即可知即为所求，再解三角形即可求得结果.

（Ⅰ）因为四边形是等腰梯形，故可得//，

故即为所求夹角或其补角，

在中，因为，且为底边中点，

故可得，又因为，

故可得，

则.

故异面直线与所成角的正弦值为.

（Ⅱ）因为平面平面，且交线为，

又因为平面，则平面，

又因为平面，故可得；

又在四边形中：过作，垂足为，

因为，

故容易得，

则

满足，则；

又因为平面，且，

故可得平面，又因为平面，

故平面平面，即证.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得平面，

则即为所求线面角.

在中，因为，

故可得.

故直线与平面所成角的正切值为.