Question

在直角坐标系xoy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），C（-1，）；以A、B为焦点的椭圆经过C点，
（1）求椭圆方程；
（2）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l，与椭圆交于不同的两点M、N，使（+）•=0？
若存在．求出直线l斜率的取值范围；
（3）对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使（+）•=0，试求实数n的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程为，由焦点A（-1，0），B（1，0）及椭圆过C（-1，可得到椭圆方程．
（2）由，知，设直线方程y=kx+m，（k≠0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点Q（x，y）．由题知可得（3+4k²）x²+8kmx+4k²-12=0，，由△＞0可得4k²+3＞m²，由可得4k²＜-2矛盾．所以符合条件的直线不存在．
（3）由，可推出，要使k存在解得n的取值范围是．
解答：解：（1）设椭圆方程为，由焦点A（-1，0），B（1，0）及椭圆过C（-1，可得，
，
解得，即椭圆方程是．
（2）∵，
∴，
由题知直线的斜率存在．可设直线方程为
y=kx+m，（k≠0），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点Q（x，y）．
由题知，
得（3+4k²）x²+8kmx+4k²-12=0，
得，
由△＞0，得4k²+3＞m²，
由，得，
即m=-3-4k²，又由4k²+3＞m²，可得4k²＜-2矛盾．
所以符合条件的直线不存在．
（3）由（2）知，
推出，
要使k存在只需，
解得n的取值范围是．
点评：本题考查椭圆方程的求法和判断直线方程是否存在，求实数n的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．