Question

设常数c≠0，数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=a_n+c，已知a₂、a₄、a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）∵常数c≠0，数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=a_n+c，
∴{a_n}是首项为1，公差为c的等差数列，
∵a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴（1+3c）²=（1+c）（1+7c），
解得c=1，或c=0（舍）．
∴a_n=1+n-1=n．
（2）∵a_n=n，
∴=n•pⁿ，p＞0．
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=p+2p²+3p³+…+（n-1）p^n-1+npⁿ，
（i）当p=1时，
T_n=1+2+3+…+n
=．
（ii）当p≠1时，
由T_n=p+2p²+3p³+…+（n-1）p^n-1+npⁿ，①
得pT_n=p²+2p³+3p⁴…+（n-1）pⁿ+npⁿ⁺¹，②
①-②，得（1-p）T_n=p+p²+p³+…+p^n-1+pⁿ-npⁿ⁺¹
=，
∴．
分析：（1）由题设知{a_n}是首项为1，公差为c的等差数列，由a₂，a₄，a₈成等比数列，知（1+3c）²=（1+c）（1+7c），由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由a_n=n，知=n•pⁿ，p＞0．T_n=p+2p²+3p³+…+（n-1）p^n-1+npⁿ，当p=1时，用等差数列求和公式进行求解；当p≠1时，用错位相减求和法进行求解．
点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，注意递推公式和错位相减求和法的灵活运用．