Question

已知不等式＞log_a(a-1)+对于一切大于1的自然数n都成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

分析：注意到不等式仅仅左边是与n有关的式子,从函数的观点看,左边是关于n的函数,要使原不等式成立,转化为该函数的最小值大于右式.如何求这个函数的最小值呢?这又是一个非常规问题,应该从研究此函数的单调性入手.

解：设f(n)=(n∈N,n≥2),则

f(n+1)-f(n)=［］-()

==＞0.

∴f(n)是关于n(n∈N,n≥2)的递增函数,则f(n)≥f(2)=.

要使原不等式成立,只需log_a(a-1)+＜,

即log_aa(a-1)＜0,当a＞1时,a(a-1)＜1,

此时1＜a＜,

当0＜a＜1时,a(a-1)＞1,此时a不存在.

故1＜a＜.