题目内容
已知不等式
+
+…+
＞
loga(a-1)+
对一切大于1的自然数n都成立,求实数a的取值范围.
解：令f(n)=+++…+(n∈N*且n≥2).
当n≥2,n∈N*时,
f(n+1)-f(n)=(+
+…+
+
+
)-(
+
+
+…
+
+
)=
+
-
=
＞0.
∴f(n+1)＞f(n)(n∈N*,n≥2),
即f(2)＜f(3)＜f(4)＜f(5)＜….
∴f(n)(n∈N*且n≥2)的最小值为
f(2)=
+
=
.
再由
＞
loga(a-1)+
,得loga(a-1)＜-1.注意到这里a＞1,可解得1＜a＜
,即实数a的取值范围是(1,
).
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