Question

设{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，已知S₇=63，a₄+a₅+a₆=33，
（1）写出数列{a_n}的通项公式；
（2） 求数列b_n=2^an+n，求数列{b_n}的前n项和Tn；
（3） 求证：

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

3

4

Answer 1

（1）∵s7=

(a1+a7)

2

×7=7a4=63
∴a₄=9，又a₄+a₅+a₆=33，3a₅=33，则a₅=11
 公差d=2，a_n=2n+1；
（2）∵b_n=2^an+n=2²ⁿ⁺¹+n
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2³+1）+（2⁵+2）+••+（2²ⁿ⁺¹+n）
=（2³+2⁵+…+2²ⁿ⁺¹）+（1+2+…+n）
=

8(4n-1)

3

+

n(n+1)

2

 （3）由等差数列的前n项和公式可得，Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n=n(n+2)
∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴

1

S1

+

1

S2

 +…+

1

Sn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

1+n

-

1

n+2

 )=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

＜

3

4