Question

如图2-3-11,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°.

图2-3-11

求证:平面ABC⊥平面BSC.

Answer 1

思路分析:它可以用两种方法来证明,一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内(证法一);二是在一个平面内找一条线段,证明它与另一个平面垂直(证法二).

证明一:作AD⊥平面BSC,D为垂足.

∵∠ASB=∠ASC=60°,SA=SB=SC,则AS=AB=AC,

∴D为△BSC的外心.又∠BSC=90°,

∴D为BC的中点,即AD在平面ABC内.

∴平面ABC⊥平面BSC.

证明二:取BC的中点D,连结AD、SD,易证AD⊥BC.

又△ABS是正三角形,△BSC为等腰直角三角形,

∴BD=SD.

∴AD²+SD²=AD²+BD²=AB²=AS².

由勾股定理的逆定理,知AD⊥SD,

∴AD⊥平面BSC.

又AD平面ABC,∴平面ABC⊥平面BSC.

  绿色通道:证明面面垂直的关键是将“面面垂直”的问题转化为证明“线面垂直”的问题,将线面垂直问题再进一步转化为“线线垂直”问题去解决.