Question

（12分）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F(,0)，一条渐近线m:x+y=0，设过点A(－3,0)的直线l

（1）求双曲线C的方程；

（2）若过原点的直线a∥l，且a与l的距离为，求k的值；

（3）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）－y2=1

（2）k=±

（3）略

【解析】（1）设双曲线C的方程为x2－2y2=λ(λ＞0)，

∴λ+=3，解得λ=2. 双曲线C的方程为－y2=1. （4分）

（2）直线l：kx－y+3k=0，直线a:kx－y=0.由题意，

得，解得k=±.(8分)

（3）证法一：设过原点且平行于l的直线b: kx－y=0，则直线l与b的距离d=，当k＞时，d＞.(12分)

又双曲线C的渐近线为x±y=0,

∴双曲线C的右支在直线b的右下方，

∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于.

故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.