Question

6．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点$P（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上．
（1）求该椭圆的方程；
（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆x²+y²=3的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明$\frac{a^2}{n^2}+\frac{b^2}{m^2}$为定值；
（3）若P₁，P₂是椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{{3{y^2}}}{b^2}$=1上不同的两点，P₁P₂⊥x轴，圆E过P₁，P₂且椭圆C₁上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆C₁是否存在过左焦点F₁的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆右焦点为F（1，0），得F₁（-1，0），F₂（1，0），由且点$P（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上，根据椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|=2a，由此能求出椭圆方程．
（2）设Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则l_QM：x₁x+y₁y=3，l_QN：x₂x+y₂y=3，推导出$m=\frac{3}{{x}_{0}}$，n=$\frac{3}{{y}_{0}}$，从而$\frac{9}{4{m}^{2}}+\frac{3}{{n}^{2}}$=1，由此能证明$\frac{a^2}{n^2}+\frac{b^2}{m^2}$为定值．
（3）不妨设P₁（m，n），P₂（m，-n），圆心E（t，0），圆E：（x-t）²+y²=（m-t）²+n²，由内切圆定义知，椭圆上的点到圆心E的距离的最小值为|P₁E|，由此能求出在这样的内切圆，圆心为（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点$P（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上，
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），∴c=1，
由椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（1-1）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}$=2a=4，解得a=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
证明：（2）设Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则l_QM：x₁x+y₁y=3，l_QN：x₂x+y₂y=3，
∵Q（x₀，y₀）在直线l_QM，l_QN上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{0}+{y}_{1}{y}_{0}=3}\\{{x}_{2}{x}_{0}+{y}_{2}{y}_{0}=3}\end{array}\right.$，
∴点（x₁，y₁），（x₂，y₂）均在直线x₀x+y₀y=3上，
即l_MN：x₀x+y₀y=3，由此得$m=\frac{3}{{x}_{0}}$，n=$\frac{3}{{y}_{0}}$，
∵（x₀，y₀）满足$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，即$\frac{9}{4{m}^{2}}+\frac{3}{{n}^{2}}$=1，
∴$\frac{{a}^{2}}{{n}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{3}{{m}^{2}}+\frac{4}{{n}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{a^2}{n^2}+\frac{b^2}{m^2}$为定值$\frac{4}{3}$．
解：（3）不妨设P₁（m，n），P₂（m，-n），圆心E（t，0），
∴圆En：（x-t）²+y²=（m-t）²+n²，
由内切圆定义知，椭圆上的点到圆心E的距离的最小值为|P₁E|，
设M（x，y）是椭圆C₁上任意一点，
|ME|²=（x-t）²-y²=$\frac{3}{4}{x}^{2}-2tx+{t}^{2}+1$，
当x=m时，|ME|²最小，∴m=$\frac{4t}{3}$，①
假设椭圆C₁上存在F₁的内切圆，则（-$\sqrt{3}$-t）²=（m-t）²+n²，②
又P₁（m，n）在椭圆C₁上，即${n}^{2}=1-\frac{{m}^{2}}{4}$，③
由①②③，得：t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t=-$\sqrt{3}$，
当t=-$\sqrt{3}$时，m=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜-2不合题意，舍去，
经验证t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$满足条件，
综上，存在这样的内切圆，圆心为（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查代数式和为定值的证明，考查满足条件的圆是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．