Question

设二次函数f（x）=ax²-4x+c（a≠0）的值域为[0，+∞），且f（1）≤4，则u=

a

c2+4

+

c

a2+4

的最大值是

7

4

．

Answer 1

分析：由题意可得a＞0 且△=0，求出ac=4，再由0≤f（1）≤4，得4≤a+c≤8．由函数y=t-

1

2t

在（0，+∞）上是增函数可得，对于函数u=

a+c

4

-

2

a+c

，当a+c=8时，函数u有最大值为

7

4

．

解答：解：∵二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），
∴a＞0 且△=0，∴ac=4．
又0≤f（1）≤4，即0≤a-4+c≤4，所以4≤a+c≤8．
u=

a

c2+4

+

c

a2+4

=

a

c2+ac

+

c

a2+ac

=

a

c(c +a)

+

c

a(a +c)

=

a2+c2

ac(c +a)

=

(a+c)2-2ac

ac(c +a)

=

a+c

4

-

2

a+c

．
由函数y=t-

1

2t

 在（0，+∞）上是增函数可得，对于函数u=

a+c

4

-

2

a+c

，当a+c=8时，函数u有最大值为

7

4

．
故答案为

7

4

．

点评：本利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意数形结合思想的运用．
是中档题．