Question

（本题满分12分）
已知点P（-1,）是椭圆E：（）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，（0<λ<4，且λ≠2）．求证：直线AB的斜率等于椭圆E的离心率；
（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．

Answer 1

解：（1）∵PF₁⊥x轴，
∴F₁（-1，0），c=1，F₂（1，0），
|PF₂|=，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，b²=3，
椭圆E的方程为：；…………………3分

⑶设直线AB的方程为y=x+t，
与联立消去y并整理得 x²+tx+t²-3=0,
△=3（4-t²），
AB|=，
点P到直线AB的距离为d=,
△ PAB的面积为S=|AB|×d=,  ………10分
设f（t）=S²=（t⁴-4t³+16t-16） （-2<t<2），
f’（t）=-3（t³-3t²+4）=-3（t+1）（t-2）²，由f’（t）=0及-2<t<2得t=-1．
当t∈（-2,-1）时，f’（t）>0，当t∈（-1,2）时，f’（t）<0，f（t）=-1时取得最大值，
所以S的最大值为．
此时x₁+x₂=-t=1=-2，=3．……………………………………12分

略